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第1章 函数1

1.1 命题与疑问1

1.y=c不是函数1

2.1=01

3.关于原点对称的函数一定是奇函数1

4.两个奇函数之和一定是奇函数1

5.分段定义的函数都是非初等函数2

6.在任一有限区间上都有界的函数，在整个数轴上都有界3

7.只有单调函数才有反函数3

8.在定义域内每一点都有有限值，在任一点的邻域内都有界4

9.不对称于原点的奇函数5

10.没有周期的周期函数5

11.周期函数的和（差）仍然是周期函数6

12.周期函数与非周期函数的和仍然是非周期函数6

13.两个非周期函数构成的复合函数仍然是非周期函数6

14.任何周期函数都有最小正周期7

15.两个无界函数之积仍然是无界函数7

16.两个单调函数之积仍然是单调函数7

17.在任何区间内都不单调的函数8

18.√2是有理数8

19.函数y=b的反函数9

20.没有反函数的复合函数9

21.√2=一√210

22.具有周期的非周期函数11

23.1=011

24.单调函数的反函数却不是单调的11

25.函数与它的反函数可以相等吗？12

26.2π=π13

1.2 错误及其纠正13

第2章 数列19

2.1 命题与疑问19

1.非单调数列一定不收敛19

2.单调而减少的数列一定以零为极限19

3.数列的最后一项20

4.0=120

5.e=＋∞21

6.两个数列的比较22

7.非单调数列一定不收敛22

8.自然数列｛n｝收敛于022

9.收敛数列可以有两个不同的极限23

10.无界的数列以∞为极限23

11.发散数列的和一定发散23

12.按数值调整数列24

13.发散数列与收敛数列的积仍发散25

14.既发散又收敛的数列25

15.无理数的旋涡26

16.？=＋∞27

17.1=—127

18.发散数列的平均值27

19.1/＋1/1＋…=028

20.投影的极限等于极限的投影30

21.柯西收敛原理的困惑31

22.所有的子数列都收敛则数列收敛32

23.＋∞≤233

24.数列乘积收敛，则每一数列必收敛33

25.数列的算术平均值收敛，则数列收敛34

26.√1＋√1＋√1…=＋∞？34

27.1/2=135

28.有理数列的极限一定是有理数36

29.0=∞36

^30.lim n→＋∞ nsin（2πen！）=∞36

31.—1=＋∞38

2.2 错误及其纠正38

第3章 极限49

3.1 命题与疑问49

1.π2=2π49

2.√2=249

3.π=250

4.π=451

5.π=2 2/353

6.ln2=054

7.sin（＋∞）=？55

8.sin2x=2sinx56

9.0=1/256

10.最高阶的无穷小57

11.0＋0≠057

12.0×0×0…≠058

13.0×0×0…=＋∞58

14.夹逼准则的失效59

15.＋1=—160

16.1=＋∞60

17.0≠061

18.0=1/261

19.1≠162

20.1/2=-∞62

21.1=063

22.1=√563

23.π/2=164

24.1=064

25.lim n→∞ sinsin…sinx=？65

26.lim x→＋∞（sin√x＋1-sin√x）不存在66

27.无界函数一定是无穷大67

28.lim sgn n→∞|sin2 （n！πx）=—1或0或＋167

29.复合函数的极限68

30.两个无极限的函数之积仍无极限68

31.1≠169

32.没有极限的复合函数的极限69

33.0≠070

34.非无穷小的乘积可以是无穷小70

35.√2=—√270

36.0=171

37.没有极限的极限71

38.0=π72

3.2 错误及其纠正73

第4章 函数的连续性78

4.1 命题与疑问78

1.处处有定义而处处不连续的函数78

2.仅在一点连续的函数79

3.在无理点上连续而在有理点上间断的函数79

4.不连续函数的和函数81

5.两个不连续函数的乘积81

6.不连续函数的复合82

7.既连续又间断的函数83

8.0=183

9.初等函数在其定义域内都连续83

10.1=084

11.连续函数的极限函数仍然是连续函数84

12.处处连续函数的极限函数依然是处处连续函数85

13.仅在整数点上连续的函数85

14.能取两个数之间的一切数值，函数就一定连续86

15.不连续函数的反函数仍不连续87

16.连续性概念的质疑87

17.连续函数的图形上一定没有“洞”吗？89

18.可以通过曲线任何点的圆柱形管子90

19.面积误差一致的正方形92

20.连续而有界的函数一定一致连续92

21.一致连续的函数一定有界93

22.既一致连续又不一致连续93

23.两个一致连续函数之积一定一致连续94

24.一致连续函数的反函数也一致连续95

4.2 错误及其纠正97

第5章 一元函数微分学100

5.1 命题与疑问100

1.处处间断函数的导数100

2.仅在一点可导的函数100

3.处处连续而无处可导的函数101

4.0=＋∞106

5.几乎处处可导又几乎处处不可导函数107

6.f′（x0）=0说明了什么？109

7.函数处处连续可导，导函数一定连续111

8.f′（x0）＞0说明了什么？111

9.函数在不连续点上的导数113

10.无穷远∞处的导数114

11.不能成为导函数的函数115

12.存在切线吗？116

13.1/2=—∞=＋∞119

14.0=—∞120

15.0=不存在121

16.φ（a）≠φ（a）122

17.函数在无定义点处的导数122

18.处处不可导函数的复合却可以处处可导123

19.d/dx（max｛f（x），g（x）｝）=？，d/dx（min{f（x），g（x）｝）=？124

20.0≠0126

21.中值定理的失效127

22.lim x→x＋ 0 f′（x）=f′＋（x0），lim x→x- 0 f′（x）=f′-（x0）128

23.与任何弦都不平行的切线129

24.初等函数一定可导129

25.严格单调增加的连续函数一定处处可导130

26.严格单调增加而处处可导的函数，其导数必大于0130

27.limsin x→0 1/x=0131

28.sinα=√2132

29.一点的切线133

30.偶函数一定以x=0为极值点133

31.重要极限lim x→0 sinx/x=1的新证法134

32.0≠0135

33.一切正分数都相等135

34.＋π/6=-π/2135

35.不能求得结果的极限136

36.1 =不存在137

37.0≠0138

38.＋π=—π139

39.0=e 1/e139

40.0=不确定141

41.limcos x→0 1/x=0141

42.√2≤1142

43.0=不存在144

44.同一个函数？144

45.√2=1145

46.在圆内没有最大也没有最小的弦146

47.0/0=0146

48.在极值点的邻域内，两边的导数一定保持同一种符号147

49.极大值等于极小值的非常值函数148

50.0≠0148

51.不等式的微分法149

52.圆内每一点都是圆心149

53.2√3＜3150

54.2=∞150

55.无法求得结果的极限151

56.f″（x0）=0的点x0一定不取得极值152

57.函数在一点任意阶导数都等于0，函数在该点能否取得极值153

58.函数有n阶导数就有任意阶导数155

59.椭圆处处向下凹156

60.不存在最大值或最小值的闭区间上的连续函数157

61.f″（x0）不存在，点（x0，f（x0））一定不是拐点157

62.既取得极值又取得拐点158

63.没有泰勒展开式的可展函数158

64.对给定的误差，不能用多项式逼近的函数159

65.函数在一点导数大于0，则函数在该点的邻域内单调增加159

66.若导函数不连续，那么间断点是第几类？160

67.曲线上两边凹凸方向不同的点就是拐点162

68.若lim x→x- 0 f′（x）=lim x→x＋ 0 f′（x）则f′（x0）存在162

69.区间之外的中值163

70.求导的疑虑163

71.4＞5163

72.不是拐点的拐点164

73.没有导数的导数165

5.2 错误及其纠正166

第6章 原函数与不定积分177

6.1 命题与疑问177

1.两个原函数之间相差不等于一个常数177

2.不连续函数可以有原函数吗？177

3.原函数对区间具有可加性178

4.一切初等函数在其定义域内都有原函数178

5.ln（—1）=0179

6.初等函数的原函数一定是初等函数179

7.一个函数可以有不同形式的原函数180

8.没有原函数的两个函数的和函数却有原函数181

9.偶函数的原函数是奇函数，奇函数的原函数是偶函数182

10.积分是微分的逆运算183

11.tanx=±i183

12.sinx=±1184

13.sin2x=1184

14.连续函数的原函数却不连续185

15.间断函数sgnx的不定积分185

16.可积分函数的和不可积分186

17.不能积分函数的和却可积分186

18.有理函数的（不定）积分仍是有理函数187

19.π/4=-π/4188

20.0=1188

21.0=1=2=…=n189

22.积不出来的函数其和却可以积出来190

23.周期函数的原函数仍然是周期函数190

24.函数|x|处处可导192

25.|x|=x192

26.连续函数却没有原函数193

6.2 错误及其纠正193

第7章 定积分201

7.1 命题与疑问201

1.在区间上可积的函数一定存在原函数201

2.0≠0202

3.有界函数一定可积分203

4.有无穷多间断点的函数也可积分204

5.单调函数一定可积分205

6.开区间内连续的函数可否积分？206

7.绝对可积的函数一定可积207

8.两个可积函数的复合函数一定可积208

9.两个不可积函数的复合函数一定不可积208

10.若f（x）≥0且可积，则∫b a f（x）dx＞0209

11.可积函数与不可积函数之积可积分或不可积分209

12.两个不可积函数的乘积仍不可积209

13.d/dx∫x 0 f（t）dt≠f（x）210

14.—2＞0210

15.0=—2211

16.-1/3＞0211

17.-π/2=π/2212

18.0=1213

19.0≥π/3214

20.失去的部分215

21.在对称区间上奇函数的积分不等于零215

22.sinx=cosx216

23.0=1217

24.2≠2217

25.0≥2/3218

26.1n2=1=0219

27.0≥1/2219

28.不存在的中值220

29.π/2=-π/2221

30.0≥0221

31.π/4≠π/4222

32.0=1223

33.在对称区间上可积分的函数都是偶函数224

34.牛顿-莱布尼茨公式的困惑224

35.若|f（x）|可积分，则f（x）也可积分225

36.估值的错误225

37.π/4=π/4？226

38.0＞π/4227

39.d/dx∫x 0[t]dt=[x]227

40.2π=5/2π228

41.0=1229

42.闭区间上连续曲线是否一定可求长229

43.0=∞—∞231

44.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则lim x→＋∞ f（x）=0231

45.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则f（x）在[0，＋∞）内有界233

46.图形无限面积却有限234

47.面积无限体积却有限234

48.若f（x）在[a，十∞）内绝对收敛，则和∫＋∞ a f2（x）dx也收敛235

49.0=—2236

50.∞—∞=0236

51.连续奇函数的原函数是偶函数，连续偶函数的原函数是奇函数237

7.2 错误及其纠正237

第8章 多元函数微分学256

8.1 命题与疑问256

1.＋1=—1256

2.0=1256

3.0=—1257

4.沿任意方向的极限存在，函数的极限就一定存在258

5.0=√-∞258

6.0≠0259

7.e=1259

8.0≠0260

9.二元函数f（x，y）分别对每一个变量都连续就是二元连续函数261

10.函数f（x，y）沿任意过点（x0，y0）的射线是连续的，则函数在该点连续262

11.在每个点都连续的不连续函数263

12.在平面上任一点都不连续的函数263

13.存在偏导数就一定连续264

14.存在偏导数就一定可微分264

15.偏导数不连续，函数就不可微分265

16.仅在一点可微分的函数266

17.沿任意方向的方向导数存在，函数就一定连续267

18.每一点都有偏导数，则偏导数就有界268

19.√2=＋∞269

20.函数沿任意方向的方向导数存在，函数就可微分269

21.cosθ=cos3 θ270

22.具有全微分的不可微函数271

23.函数f（x，y）在点（x0，y0）处沿任意方向的方向导数都相等，则f′x（x0，y0）=f′y（x0，y0）271

24.f′x（x，y）=f′y（x，y）≡0，则f（x，y是常数272

25.0=1/√2273

26.0=1/√2=＋∞273

27.—1=＋1274

28.二阶偏导数在某点存在，则一阶偏导数在该点连续275

29.＋1=—1276

30.存在隐函数却不唯一277

31.函数f（x，y）过点（x0，y0）的任意直线上都有极值，函数在该点就一定有极值278

32.—1＞0278

33.在不连续点上函数是否有极值280

34.有多个极大值而无极小值的函数280

35.不是极值的极值281

36.点到曲面的最短距离不存在282

8.2 错误及其纠正282

第9章 多元函数积分学293

9.1 命题与疑问293

1.＋1=—1293

2.若∫d c dy∫b a f（x，y）dx=∫b a dx ∫d c f（x，y）dy，则函数f（x，y）在D：a≤x≤b，c≤y≤d上可积分293

3.0≠0295

4.π/4=—π/4295

5.二重积分存在就能化作二次积分计算296

6.0=0？298

7.1/2=—1/2299

8.二重积分由直角坐标变换到极坐标的疑问299

9.3/2=—3/2301

10.—4≥0302

11.1≥1303

12.0=1/2304

13.1=0305

14.1=0305

15.能用二重积分计算单积分？307

16.能用微分计算定积分？308

17.连续函数的广义二重积分却不存在？310

18.0=ln2312

19.广义二重积分收敛，则绝对收敛？313

20.不连续函数的积分可能连续吗？315

21.4=5316

22.0＞0317

23.？P/？y=？Q/？x，积分却与路径有关317

24.0=2π319

25.非单连通区域上，曲线积分一定与路径有关320

26.0=—8321

27.0≠0321

9.2 错误及其纠正322

第10章 无穷级数330

10.1 命题与疑问330

1.级数若一项比一项小，则级数收敛330

2.一般项趋于零，级数就收敛330

3.无限长的图形能有有限的面积吗？330

4.收敛的级数不必一项比一项小331

5.＋∞=—1331

6.1=0333

7.1=1/2334

8.e=1/2＋e335

9.有和的发散级数336

10.1/2=1/3337

11.优于发散级数的收敛级数337

12.部分和数列有界的发散级数338

13.发散的收敛级数339

14.发散级数的和级数仍然发散340

15.两个发散级数的对应项乘积级数仍发散340

16.两个收敛级数的对应项乘积级数仍收敛340

17.每一个级数都可以收敛于预先指定的数341

18.若lim n→＋∞ a n＋1/a n不存在，则级数发散341

19.既发散又收敛的级数341

20.两个收敛级数的柯西乘积级数一定收敛342

21.两个发散级数的柯西乘积级数一定发散344

22.0=0？344

23.收敛的级数必定lim n→＋∞ a n＋1/a n＜1344

24.极限比较法的失效？345

25.部分和有界，级数就收敛346

26.存在收敛或发散得最慢的级数347

27.发散级数也有用？349

28.几何级数与p-级数比较，哪个收敛得更慢？353

29.ln2=3/2 ln2355

30.1=2356

31.ln2=0356

32.ln2=0357

33.ln2=1/2ln2357

34.每一个数都等于0358

35.—1=＋∞359

36.1=1/2359

37.每一个级数都可以收敛于预先给定的数值360

38.1=0361

39.发散的莱布尼茨型级数361

40.0≤0362

41.两个发散级数的差一定发散363

42.1=3/2364

43.后项不小于前项的交错级数一定发散365

44.∞∑n=1（—1）n＋1=1/2？1/3？1/4？…366

45.0＞1/2367

46.收敛的级数中有发散的子级数368

47.收敛级数重排后的级数仍然收敛370

48.收敛于任何数的收敛级数371

49.lim n→∞ a n＋1/a n=＋∞，级数就发散373

50.e - 1/2 x=0373

51.在收敛半径之外还收敛的幂级数374

52.连续函数的无穷和可以是不连续吗？375

53.幂级数在收敛区域内绝对收敛376

54.幂级数在收敛区间（—R，R）内一致收敛376

55.仅在一点收敛的幂级数也是一个函数的麦克劳林级数？377

56.只在原点收敛的麦克劳林级数？378

57.1/2=0379

58.收敛的区域能扩大吗？380

59.1=2382

60.0=1382

61.收敛区间内的发散级数383

62.0=1/2383

63.在收敛区域内仍发散的级数384

64.绝对并一致收敛的级数=绝对值级数的一致收敛385

65.一致收敛导致绝对收敛387

66.各项都不连续的函数项级数能一致收敛于连续的函数吗？388

67.收敛级数的导数仍然收敛388

68.发散级数的导数仍然发散389

69.∞∑n=1 ∫b a un（x）dx=∫b a ∞∑n=1 un（x）dx390

70.可积分的收敛级数其和函数也可积分391

71.不一致收敛的级数有连续的和函数？391

72.不一致收敛级数的微商393

73.＋∞=＋∞？396

74.两个不同的函数可以有相同的泰勒级数？397

75.不收敛于函数的麦克劳林级数？398

76.圆的周长是椭圆周长的特例399

77.收敛的三角级数都是傅氏级数401

78.三角级数就是傅氏级数403

79.0=±π405

80.0=＋∞406

81.不收敛的傅氏级数也可逐项积分？407

82.0≠0409

10.2 错误及其纠正410

参考文献427